二项分布公式

二项分布是一种描述在固定次数的独立试验中，恰好取得特定成功次数的概率的分布。每次试验的结果只有两种可能：成功或失败，而且每次试验的成功概率都是恒定的。这种分布广泛应用于各种场景，如抛、质量检测等。

二项分布的公式为：

P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

其中：

\binom{n}{k} 是组合数，表示从n次试验中选择k次成功的方式数。这个组合数的计算方式是 \frac{n!}{k!(n-k)!}。

p^k 代表k次成功的概率。

(1-p)^{n-k} 代表剩余n-k次失败的概率。

这个分布的关键点在于：

1. 独立性：各次试验的结果是相互独立的，也就是说，前一次试验的结果不会影响后一次试验的结果。

2. 固定概率：每次试验的成功概率p保持不变。

3. 应用场景：二项分布适用于有放回抽样或者总体极大近似独立的情况，如抛、质量检测等。

以一个简单的例子来说明：假设我们抛5次，我们想知道恰好得到3次正面的概率。这时，n=5（总试验次数），k=3（成功的次数），p=0.5（得到正面的概率）。我们可以按照二项分布的公式来计算：

P(X=3) = \binom{5}{3} (0.5)^3 (0.5)^2 = 10 \times \frac{1}{8} \times \frac{1}{4} = \frac{5}{16} = 0.3125

二项分布还有一些重要的扩展性质，如期望和方差。期望E(X) = np，方差Var(X) = np(1-p)。

当试验次数n等于1时，二项分布就退化为伯努利分布。伯努利分布是二项分布在n=1时的特殊情况，描述的是单次试验的成功概率。二项分布是统计学中非常重要的一个分布，对于理解和分析随机事件有着广泛的应用。