二重积分的几何意义(二次函数与一元二次方程
二重积分的几何意义。这是一个简单的例子,我们可以看到,如果我们想要得到一个二重积分,我们需要做的第一件事就是找到一个正方形,然后在这个正方形的四个角上分别画上一个三角形,在这个三角形的中间画上一个圆。这样我们就可以得到一个二重积分了。
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二重积分有什么几何意义?
定积分的几何意义是曲边梯形的有向面积,物理意义是变速直线运动的路程或变力所做的功。
二重积分的几何意义是曲顶柱体的有向体积,物理意义是加在平面面积上压力(压强可变)。
积分的线性性质
性质1(积分可加性)函数和(差)的二重积分等于各函数二重积分的和(差)
性质2(积分满足数乘)被积函数的常系数因子可以提到积分号外比较性
性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y)估值性性质4设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值,σ为区域D的面积性质5如果在有界闭区域D上f(x,y)=k(k为常数),σ为D的面积,则Sσ=k∫∫dσ=kσ。
二重积分中值定理设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续,σ为区域的面积,则在D上至少存在一点(ξ,η)。
求解方法
二重积分和定积分一样不是函数,而是一个数值。若一个连续函数f(x,y)内含有二重积分,对它进行二次积分,这个二重积分的具体数值便可以求解出来。
其积分区域D是由所围成的区域。
其中二重积分是一个常数,不妨设它为A。对等式两端对D这个积分区域作二重定积分。
故这个函数的具体表达式为f(x,y)=xy+1/8,等式的右边就是二重积分数值为A,而等式最左边根据性质5,可化为常数A乘上积分区域的面积1/3,将含有二重积分的等式可化为未知数A来求解。
设Ω为空间有界闭区域,f(x,y,z)在Ω上连续。
(1)如果Ω关于xOy(或xOz或yOz)对称,且f(x,y,z)关于z(或y或x)为奇函数
(2)如果Ω关于xOy(或xOz或yOz)对称,Ω1为Ω在相应的坐标面某一侧部分,且f(x,y,z)关于z(或y或x)为偶函数
(3)如果Ω与Ω’关于平面y=x对称
二重积分的几何含义
二重积分∫∫f(x,y)dxdy的几何意义是曲顶柱体的体积,其中柱体的底为积分区域d,顶为z=f(x,y)确定的曲面。本题中z=(a^2-x^2-y^2)表示球体x^2+y^2+z^2=a^2的上半部分,底面时xoy平面上的x^2+y^2=a^2,根据几何意义,积分等于这上半球体的体积=2πa^3/3。
二重积分的几何意义是什么?怎么理解?
通俗明了地说,二重积分求的是体积。
我们知道,一重积分求的是面积,二重积分就是无数个单个面积的叠加,就是体积。
二重积分的几何意义是什么?
二重积分的的几何意义本身就是计算空间几何体的体积。该几何体的底面显然是一个圆的内部(含圆的边界),该圆的表达式为x²+y²=3²,即圆的圆心为(0,0),半径为3;几何体的高度为z=f(x,y)=|x²+y²-4|。
几何体的高度z为正值,但(x²+y²-4)在区域D内并非都是正值只有在x²+y²2²这个圆的外部时,(x²+y²-4)0而取正值;当在这个圆内部时,取负值。
所以原积分分解成为两个积分的和,就可以去掉绝对值符号
原积分=∫∫(D1)(-x²-y²+4)dv+∫∫(D2)(x²+y²-4)dv,其中D1x²+y²≤4;D24≤x²+y²≤9。然后利用极坐标积分的变换,就很容易求出积分的值了。
不定积分的公式
1、∫ a dx = ax + C,a和C都是常数
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C,其中a为常数且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + C
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C,其中a 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + C
6、∫ cosx dx = sinx + C
7、∫ sinx dx = - cosx + C
8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C
二重积分的几何意义是什么
当被积函数在积分区域内是正数是,几何意义是积分曲面与投影面所围区域的体积,若有正有负则是正的区域部分体积减去负的区域部分的体积
二重积分的几何意义
二重积分的出现在一定程度上,来源于图形的面积,主要是求面积。他的几何意义就是面积。
先画图,根据线性规划画图,求面积